前件の動作や状態が続いている期間内の「ある時点」で、後件の瞬間的な動作が行われることを表します。「〜の間に（何かをする）」という意味です。
家族（かぞく）が 寝（ね）ている （ ）に、家（いえ）を 出（で）ました。
正解：1
動詞「ている形」＋あいだに；名詞＋の＋あいだに
前件の動作や状態が続いている期間内の「ある時点」で、後件の瞬間的な動作が行われることを表します。「〜の間に（何かをする）」という意味です。
「〜あいだ」との対比問題です。本問の前件は「家族が寝ている（継続）」ですが、後件は「家を出た（瞬間）」です。外出という動作は寝ている全期間を占めるものではなく、その期間中の一点で行われたことなので、助詞「に」を伴う「あいだに」が適切です。
1. 留守の あいだに、泥棒が 入りました。
2. 子供が 学校に 行っている あいだに、掃除を しました。